Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c?ba＝cosBcosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝25，

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2c?ba＝cosBcosA．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a＝25，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵

2c?b

a

＝

cosB

cosA

，
所以（2c-b）?cosA=a?cosB
由正弦定理，得（2sinC-sinB）?cosA=sinA?cosB．
整理得2sinC?cosA-sinB?cosA=sinA?cosB．
∴2sinC?cosA=sin（A+B）=sinC．
在△ABC中，sinC≠0．
∴cosA＝

1

2

，∠A＝

π

3

．
（Ⅱ）由余弦定理cosA＝

b2+c2?a2

2bc

＝

1

2

，a＝2

5

．
∴b²+c²-20=bc≥2bc-20
∴bc≤20，当且仅当b=c时取“=”．
∴三角形的面积S＝

1

2

bcsinA≤5

3

．
∴三角形面积的最大值为5

3

．