Question

一般地，给定平面上有n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λ n ，已知λ 4 的最小

一般地，给定平面上有n个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离的比记为λ n ，已知λ 4 的最小值是 2 ，λ 5 的最小值是 2sin 3 10 π ，λ 6 的最小值是 3 ．试猜想λ n （n≥4）的最小值是______．（这就是著名的Heilbron猜想，已经被我国的数学家攻克）

Answer 1

∵ λ 4 = 2 =2sin π 4 ， λ 5 =2sin 3 10 π ， λ 6 = 3 =2sin π 3 ， … 设数列{a n }（n≥4）， a 4 = 1 4 = 1 2 - 1 4 ， a 5 = 3 10 = 1 2 - 1 5 ， a 6 = 1 2 - 1 6 ，… 于是可得 a n = 1 2 - 1 n ． ∴猜想λ n （n≥4）的最小值是 2sin( 1 2 - 1 n )π = 2sin n-2 2n π ． 故答案为 2sin n-2 2n π ．