Question

已知，如图四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F，垂足为O．求证：

已知，如图四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F，垂足为O．求证：（1）M是AD的中点；（2）DF=12CD．

Answer 1

证明：（1）连接BD，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AO平分∠BAD，AC⊥BD，
∵EF⊥AC，点E是AB中点，
∴EM是△ABD的中位线，
∴M是AD的中点；
（2）在△AME和△DMF中，
∵∠EAM=∠FDM，AM=DM，∠AME=∠DMF，
∴△AME≌△DMF，
∴DF=AE，
∵AE=

1

2

AB＝

1

2

CD，
∴DF=

1

2

CD．