Question

设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0（1）求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g

设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0（1）求f（x）的极值；（2）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且仅有一个，求实数m和t的值；（3）设a＞0，试讨论方程f(x)2x+x?12?alnx＝0的解的个数，并说明理由．

Answer 1

（1）∵f（x）=x（x-1）²，x＞0，
∴f′（x）=3x²-4x+1，
令f’（x）=0，得x=

1

3

，或x=1，
∴当x变化时f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x	（-∞， 1 3 ）	1 3	（ 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f’（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由上表知当x=

1

3

时，f（x）取得极大值

4

27

，当x=1时，f（x）取得极小值0．
（2）由g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立得

lnx?2x2+3x+t?m≤0① x(x?1)2?x?m≥0②

对x∈（0，+∞）恒成立，
由②得m=-

32

27

，又由①得1+t-m=0，∴t=-

59

27

．
（3）令?（x）=

f(x)

2x

+x?

1

2

?alnx
=

1

2

x2?alnx，
∴?′（x）=x-

a

x

=

x2?a

x

．
∵当x→0时，?（x）→+∝，
∴由当0＜a＜e时，?（x）_min=?（

a

）=

a

2

(1?lna)，此时原方程无解；
当a=e时，?（x）_min=?（