Question

已知：如图，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，AE是△ABC的边BC上的高，DF⊥BC，F为垂足．（1）求证：BF=EC；（

已知：如图，AD是△ABC外接圆⊙O的直径，AE是△ABC的边BC上的高，DF⊥BC，F为垂足．（1）求证：BF=EC；（2）若C点是弧AD的中点，且DF=3，AE=3，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：过0作OH⊥BC于H， ∵OH过O， ∴由垂径定理得：BH=CH， ∵AE⊥BC，DF⊥BC，OH⊥BC， ∴AE ∥ OH ∥ DF， 又∵OA=OD， ∴EH=FH， ∵BH=CH， ∴EH-BH=FH-CH， 即BE=CF， ∴BE+BC=CF+BC， ∴BF=CE． （2） ∵C点是弧AD的中点，即弧AC=弧CD， ∴AC=CD， ∵AD是直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠ACE+∠DCF=90°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEC=90°， ∴∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠EAC=∠DCF， 在△EAC和△FCD中 ∠AEC=∠DFC=90° ∠EAC=∠DCF AC=CD ， ∴△EAC≌△FCD， ∴AE=CF=3，CE=DF=3， ∴EC=CF， ∵OA=OC， ∴OC是梯形AEFD的中位线， ∴OC ∥ AE， ∵AE⊥EF， ∴OC⊥EF， ∵OC为半径， ∴OC是⊙O切线， ∴EF和⊙O只有一个交点， 即B C重合， ∴BC=0．