Question

求关于抽象函数的解题方法

Answer 1

抽象函数问题的题型综述
一. 求某些特殊值
这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。
例1 定义在R上的函数 满足： 且 ，求 的值。
解：由 ，
以 代入，有 ，
为奇函数且有
又由

故 是周期为8的周期函数，

例2 已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时，
，求 在 上的值域。
解：设
且 ，
则 ，
由条件当 时，

又

为增函数，
令 ，则
又令
得
，
故 为奇函数，
，
上的值域为

二. 求参数范围
这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例3 已知 是定义在（ ）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足 ，试确定 的取值范围。
解： 是偶函数，且在（0，1）上是增函数，
在 上是减函数，
由 得 。
（1）当 时，
，不等式不成立。
（2）当 时，

（3）当 时，

综上所述，所求 的取值范围是 。

例4 已知 是定义在 上的减函数，若 对 恒成立，求实数 的取值范围。
解：
对 恒成立
对 恒成立

对 恒成立，

三. 解不等式
这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“ ”，转化为代数不等式求解。
例5 已知函数 对任意 有 ，当 时， ， ，求不等式 的解集。
解：设 且
则
，
即 ，

故 为增函数，
又

因此不等式 的解集为 。

四. 证明某些问题
例6 设 定义在R上且对任意的 有 ，求证： 是周期函数，并找出它的一个周期。
分析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出 （T为非零常数）则 为周期函数，且周期为T。
证明：

得
由（3）得
由（3）和（4）得 。
上式对任意 都成立，因此 是周期函数，且周期为6。

例7 已知 对一切 ，满足 ，且当 时， ，求证：（1） 时， （2） 在R上为减函数。
证明： 对一切 有 。
且 ，令 ，得 ，
现设 ，则 ， ，
而

，
设 且 ，
则

，
即 为减函数。

五. 综合问题求解
抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“ ”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“ ”。
例8 设函数 定义在R上，当 时， ，且对任意 ，有 ，当 时 。
（1）证明 ；
（2）证明： 在R上是增函数；
（3）设 ，
，若 ，求 满足的条件。
解：（1）令 得 ，
或 。
若 ，当 时，有 ，这与当 时， 矛盾，
。
（2）设 ，则 ，由已知得 ，因为 ， ，若 时， ，由

（3）由 得
由 得 （2）
从（1）、（2）中消去 得 ，因为
，
即

例9 定义在（ ）上的函数 满足（1），对任意 都有 ，
（2）当 时，有 ，
（1）试判断 的奇偶性；（2）判断 的单调性；
（3）求证 。
分析：这是一道以抽象函数为载体，研究函数的单调性与奇偶性，再以这些性质为基础去研究数列求和的综合题。
解：（1）对条件中的 ，令 ，再令 可得
，所以 是奇函数。
（2）设 ，则
，
，由条件（2）知 ，从而有 ，即 ，故 上单调递减，由奇函数性质可知， 在（0，1）上仍是单调减函数。
（3）

抽象函数问题分类解析

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数。近年来抽象函数问题频频出现于各类考试题中，由于这类问题抽象性强，灵活性大，多数同学感到困惑，求解无从下手。本文试图通过实例作分类解析，供学习参考。
1. 求定义域
这类问题只要紧紧抓住：将函数 中的 看作一个整体，相当于 中的x这一特性，问题就会迎刃而解。
例1. 函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是___。
分析：因为 相当于 中的x，所以 ，解得
或 。

例2. 已知 的定义域为 ，则 的定义域是______。
分析：因为 及 均相当于 中的x，所以

(1)当 时，则
(2)当 时，则
2. 判断奇偶性
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求 与 的关系。
例3. 已知 的定义域为R，且对任意实数x，y满足 ，求证： 是偶函数。
分析：在 中，令 ，
得
令 ，得
于是
故 是偶函数。

例4. 若函数 与 的图象关于原点对称，求证：函数
是偶函数。
证明：设 图象上任意一点为P（ ）
与 的图象关于原点对称，
关于原点的对称点 在 的图象上，

又

即对于函数定义域上的任意x都有 ，所以 是偶函数。
3. 判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例5. 如果奇函数 在区间 上是增函数且有最小值为5，那么 在区间 上是
A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为
C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为
分析：画出满足题意的示意图1，易知选B。

图1

例6. 已知偶函数 在 上是减函数，问 在 上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图2所示，易知 在 上是增函数，证明如下：
任取
因为 在 上是减函数，所以 。
又 是偶函数，所以
，
从而 ，故 在 上是增函数。

图2
4. 探求周期性
这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。
例7. 设函数 的定义域为R，且对任意的x，y有
，并存在正实数c，使 。试问 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现： 满足题设条件，且 ，猜测 是以2c为周期的周期函数。

故 是周期函数，2c是它的一个周期。
5. 求函数值
紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
例8. 已知 的定义域为 ，且 对一切正实数x，y都成立，若 ，则 _______。
分析：在条件 中，令 ，得
，

又令 ，
得 ，

例9. 已知 是定义在R上的函数，且满足： ，
，求 的值。
分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现 是周期函数，显然 ，于是
，

所以
故 是以8为周期的周期函数，从而

6. 比较函数值大小
利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。
例10. 已知函数 是定义域为R的偶函数， 时， 是增函数，若 ， ，且 ，则 的大小关系是_______。
分析： 且 ，

又 时， 是增函数，

是偶函数，

故
7. 讨论方程根的问题
例11. 已知函数 对一切实数x都满足 ，并且 有三个实根，则这三个实根之和是_______。
分析：由 知直线 是函数 图象的对称轴。
又 有三个实根，由对称性知 必是方程的一个根，其余两根 关于直线 对称，所以 ，故 。
8. 讨论不等式的解
求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。
例12. 已知函数 是定义在 上的减函数，且对一切实数x，不等式 恒成立，求k的值。
分析：由单调性，脱去函数记号，得

由题意知(1)(2)两式对一切 恒成立，则有

9. 研究函数的图象
这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。
例13. 若函数 是偶函数，则 的图象关于直线_______对称。
分析： 的图象 的图象，而 是偶函数，对称轴是 ，故 的对称轴是 。

例14. 若函数 的图象过点（0，1），则 的反函数的图象必过定点______。
分析： 的图象过点（0，1），从而 的图象过点 ，由原函数与其反函数图象间的关系易知， 的反函数的图象必过定点 。
10. 求解析式
例15. 设函数 存在反函数， 与 的图象关于直线 对称，则函数
A. B. C. D.
分析：要求 的解析式，实质上就是求 图象上任一点 的横、纵坐标之间的关系。
点 关于直线 的对称点 适合 ，即 。
又 ，

即 ，选B。
抽象函数的周期问题
——由一道高考题引出的几点思考
2001年高考数学（文科）第22题：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称。对任意 都有 。
（I）设 求 ；
（II）证明 是周期函数。
解析：（I）解略。
（II）证明：依题设 关于直线 对称
故
又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

这表明 是 上的周期函数，且2是它的一个周期
是偶函数的实质是 的图象关于直线 对称
又 的图象关于 对称，可得 是周期函数
且2是它的一个周期
由此进行一般化推广，我们得到
思考一：设 是定义在 上的偶函数，其图象关于直线 对称，证明 是周期函数，且 是它的一个周期。
证明： 关于直线 对称

又由 是偶函数知

将上式中 以 代换，得

是 上的周期函数
且 是它的一个周期
思考二：设 是定义在 上的函数，其图象关于直线 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。
证明： 关于直线 对称

将上式的 以 代换得

是 上的周期函数
且 是它的一个周期
若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”， 还是不是周期函数？经过探索，我们得到
思考三：设 是定义在 上的奇函数，其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且4是它的一个周期。，
证明： 关于 对称

又由 是奇函数知

将上式的 以 代换，得

是 上的周期函数
且4是它的一个周期
是奇函数的实质是 的图象关于原点（0，0）中心对称，又 的图象关于直线 对称，可得 是周期函数，且4是它的一个周期。由此进行一般化推广，我们得到
思考四：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 中心对称，且其图象关于直线 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。
证明： 关于点 对称

关于直线 对称

将上式中的 以 代换，得

是 上的周期函数
且 是它的一个周期
由上我们发现，定义在 上的函数 ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则 是 上的周期函数。进一步我们想到，定义在 上的函数 ，其图象如果有两个对称中心，那么 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到
思考五：设 是定义在 上的函数，其图象关于点 和 对称。证明 是周期函数，且 是它的一个周期。
证明： 关于 对称

将上式中的 以 代换，得

是周期函数
且 是它的一个周期

Answer 2

你的问题也很抽象。

这种函数主要利用各种函数函数的基本性质。和题目中给出的相关性质，特别是指数函数和对数函数。等等给你函数名称你要知道相关性质，给你一个性质，你要知道他是什么函数，并推出其他性质。对函数性质的熟练性，确定你的解题速度和准确性。

Answer 3

这类题的切入口往往与特殊值有关，然后再对所给的式子进行变形，一般都要进行换元。

买本《五年高考.三年模拟》自己从里面找题，多做几道就会了。

不要有心理障碍，抽象函数其实不难

Answer 4

你多做题目就会有思路了。

方法不多，我觉得可以在题干下面钩钩画画，抓住重点，比如解析式。然后试着画图看看。数形结合咯~

做过一道要总结一道。~