已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．（Ⅰ）求
已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．（Ⅰ）求证：CD⊥平面POC；（Ⅱ）求二...
已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．（Ⅰ）求证：CD⊥平面POC；（Ⅱ）求二面角O-PD-C的余弦值．
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解答：
（Ⅰ）证明：∵PA=PB=AB，O为AB中点，∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO?侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=5
在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10
在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD-BC）2=5
∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，
)，D（-1，3，0），C（1，2，0）
∴
＝(0，0，
)，
＝(?1，3，0)，
＝(?1，?2，
)，
＝(?2，1，0)
假设平面OPD的一个法向量为
＝(x1，y1，z1)，平面PCD的法向量为
＝(x2，y2，z2)，则
由
可得
，取y1=1，得x1=3，z1=0，即
＝(3，1，0)，
由
（Ⅰ）证明：∵PA=PB=AB，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO?侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD
∵CD?底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=5
在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10
在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD-BC）2=5
∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
（Ⅱ）解法一：如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0，0，
| 3 |
∴
| OP |
| 3 |
| OD |
| CP |
| 3 |
| CD |
假设平面OPD的一个法向量为
| m |
| n |
由
|
|
| m |
由
|
