Question

已知a^2+b^2+c^2=1,a*(1/b+1/c)+b*(1/a+1/c)+c*(1/a+1/b)=—3,求a+b+c

Answer 1

a+b+c的值为：0或1或-1

解题关键过程
1）由
a*(1/b+1/c)+b*(1/a+1/c)+c*(1/a+1/b)=—3
两边同乘以abc得：a^2*（b+c）+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)+3abc = 0

2)展开（a+b+c）*（a+b+c）*（a+b+c）
=[（a+b+c）*（a+b+c）]*（a+b+c）
=[a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca]*（a+b+c）
=[1+2ab+2bc+2ca]*（a+b+c）
=（a+b+c）+2*[a^2*（b+c）+b^2*(a+c)+c^2*(a+b)+3abc ]
=（a+b+c）+2*0
=（a+b+c）

设a+b+c=x
则x*(x+1)*(x-1)=0

所以x为0或1或-1