Question

已知a^2+b^2+c^2=1,a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=

-3，求a+b+c的值

Answer 1

a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b）=-3
两边同乘以abc得：a^2(c+b)+b^2(a+c)+c^2(b+a)=-3abc
如果a+b+c=0，则可求出一个解a+b+c=0
否则a+b+c≠0，上式再两边同除以(a+b+c)得：
a^2[1-a/(a+b+c)]+b^2(1-b/(a+b+c)]+c^2[1-c/(a+b+c)]=-3abc/(a+b+c)
即(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)-(a^3+b^3+c^3)/(a+b+c)=-3abc/(a+b+c)
则(a^2+b^2+c^2)-(a^3+b^3+c^3)=-3abc
所以(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^3+c^3)-3abc=1

由a^2(c+b)+b^2(a+c)+c^2(b+a)=-3abc
得a^2(c+b)+b^2(a+c)+c^2(b+a)+3abc=0
而(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3a^2(c+b)+3b^2(a+c)+3c^2(b+a)+6abc
所以(a+b+c)^3=(a^3+b^3+c^3)-3abc=1
所以a+b+c=1
因此a+b+c=1 或a+b+c=0