Question

已知椭圆C的两焦点是F1(-根号3,0)F2(根号3,0),点P(根号3,1/2)在椭圆C上,过点A(0,-2)做直线L与椭圆C交于…

已知椭圆C的两焦点是F1(-根号3,0)F2(根号3,0),点P(根号3,1/2)在椭圆C上,过点A(0,-2)做直线L与椭圆C交于M,N两点，若以MN为直径的圆经过原点O，求直线L的方程

Answer 1

由已知得 c=√3，2a = √[(2√3)^2+(1/2)^2]+√[0+(1/2)^2] = 4 ，
因此可得 a^2 = 4 ，b^2 = a^2-c^2 = 1，
所以，椭圆方程为 x^2/4+y^2 = 1 。
设过 A 的直线方程为 y = kx-2 ，
代入椭圆方程得 x^2/4+(kx-2)^2=1，
化简得 (4k^2+1)x^2-16kx+12 = 0 ，
设 M（x1，y1），N（x2，y2），
则 x1+x2 = 16k/(4k^2+1)，x1*x2 = 12/(4k^2+1) ，
所以 y1*y2 = (kx1-2)(kx2-2) = k^2*x1*x2-2k(x1+x2)+4 = (-4k^2+4)/(4k^2+1)，
根据已知得 OM丄ON ，所以 x1*x2+y1*y2 = 0 ，
即 12/(4k^2+1)+(-4k^2+4)/(4k^2+1) = 0 ，
解得 k = ±2 ，
所以，所求直线 L 的方程为 y = 2x-2 或 y = -2x-2 。