Question

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），

如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由．

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Answer 1

（1）一次函数解析式为y= x+1，反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y= ； （2）反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．

试题分析：（1）由AC=BC，且OC垂直于AB，利用三线合一得到O为AB中点，求出OB的长，确定出B坐标，将P与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，确定出一次函数解析式，将P坐标代入反比例解析式求出m的值，即可确定出反比例解析式； （2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示，由一次函数解析式求出C坐标，得出直线BC斜率，求出过P且与BC平行的直线PD解析式，与反比例解析式联立求出D坐标，检验得到四边形BCPD为菱形，符合题意． 试题解析：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（﹣4，0）， ∴O为AB的中点，即OA=OB=4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y=kx+b得： ， 解得：k= ，b=1， ∴一次函数解析式为y= x+1， 将P（4，2）代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y= ； （2）假设存在这样的D点，使四边形BCPD为菱形，如图所示， 对于一次函数y= x+1，令x=0，得到y=1，即C（0，1）， ∴直线BC的斜率为 =﹣ ， 设过点P，且与BC平行的直线解析式为y﹣2=﹣ （x﹣4），即y= ， 与反比例解析式联立得： ， 消去y得： = ， 整理得：x 2 ﹣12x+32=0，即（x﹣4）（x﹣8）=0， 解得：x=4（舍去）或x=8， 当x=8时，y=1， ∴D（8，1）， 此时PD= ，BC= ，即PD=BC， ∵PD∥BC， ∴四边形BCPD为平行四边形， ∵PC= ，即PC=BC， ∴四边形BCPD为菱形，满足题意， 则反比例函数图象上存在点D，使四边形BCPD为菱形，此时D坐标为（8，1）．