Question

几道高一数学题

1.求使（1）sin(3π - α) =【2】cos[（π/2）- β] ,
（2）【3】cos(-α) = -【2】cos(α+β)
同时成立的α、β的值，其中α属于（-π/2，π/2），β属于（0，π）。“【】”表示二次方根。

2. 求函数 y=(sinx四次方）+（cosx四次方) - 2(cosx平方）的周期、最大值和最小值。

3. 已知 x平方+4（y平方）=4，求M=x平方+2xy+4（y平方）+x+2y 的值域。

请详解 我知道打起来会很麻烦，有劳了。

谢谢！

Answer 1

第一题我不知道怎样算出准确值，只是令cos(alpha)=x, cos(beta)=y,然后利用两个条件可以得到两个一元三次方程，由于解些类方程有具体的公式，所以x,y可以准确地解出来。从而求出alpha和beta（注意由第一条件就可以知道alpha是(0,π/2)）。
2 * Sqrt[3] * x^3 - 2 * Sqrt[3] x + 1=0
4 * Sqrt[6] * y^3 + 12 * y^2 - 2 * Sqrt[6] y - 7=0
用计算机算出精确值有两组beta1 = ArcCos[0.74288]=0.733434
alpha1 = ArcCos[0.322089]=1.24286
beta2 = ArcCos[-0.905214]=2.70268
Alpha2 = ArcCos[0.799265]=0.644725

第二题：
Sin[x]^4 + Cos[x]^4 -
2 Cos[x]^2 = (Sin[x]^2 + Cos[x]^2)^2 - 2 Sin[x]^2 Cos[x]^2 -
2 Cos[x]^2 = 2 Cos[x]^4 - 4 Cos[x]^2 + 1 可以视为二次函数，用该函数的单调性求解最值。至于周期性则是cosx的周期的一半，因为(cosx)^2将函数cosx图像的下部分翻到了上面。
解得最大值为1，最小值为-1，周期为π

第三题：
首先,
M = (x + 2 y^2)^2 + (x + 2 y^2)
将(x + 2 y^2)视为整体
然后,
令x = 2 cos[alpha]
y = sin[alpha]
代入M
以将(x + 2 y^2)为变量利用二次函数的性质求解值域
解得值域为[-1/4, 8+2 * Sqrt[x]]

（注：Sqrt就是根号）

Answer 2

不好意思，好多公式都忘了，心有余而力不足！

Answer 3

我们先来、把题目分析了。

（1）sin(3π - α) =【2】cos[（π/2）- β]
-sinα =【2】cos[（π/2）- β]
-sinα = 【2】sinβ
（2）【3】cos(-α) = -【2】cos(α+β)
【3】cosα = -【2】cos(α+β)