Question

已知△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD

已知△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合),△ADE是以AD为一边的等边三角形，连接BE
1）如图①，当点D在线段BC上时，求证：△AEB≌△ADC
2）如图②，当点D在BC的延长线上时，1）中的结论是否成立？

Answer 1

十分好证呵~

1）
因为 △ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，
所以 AB=AC,AE=AD,∠BAC = ∠EAD = 60°，
所以 ∠BAC - ∠BAD = ∠EAD - ∠BAD,
即 ∠DAC = ∠EAB.

在△AEB和△ADC中，
AE=AD，
∠EAB = ∠DAC，
AB=AC，
所以 △AEB≌△ADC （SAS）。

2）
仍然成立。
证明方法与1）中几乎相同。

仍可证明：
在△AEB和△ADC中，
AE=AD，
∠EAB = ∠DAC，
AB=AC，
所以 △AEB≌△ADC （SAS）。

Answer 2

证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．（3分）

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．（5分）
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

（2）①②都成立．（8分）

（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD（10分）
又∵CD=CB，
∴BE=CB．（11分）
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．（12分）

方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．（9分）
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB（11分）
∴CD=CB．（12分）

方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG（11分）
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30度．（12分）

Answer 3

证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．（3分）
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．（5分）
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）
方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）
由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG．
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）
（2）①②都成立．（8分）
（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD（10分）
又∵CD=CB，
∴BE=CB．（11分）
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．（12分）
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．（9分）
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB（11分）
∴CD=CB．（12分）
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG（11分）
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30度．（12分）

Answer 4

1）一、略证：因为，AE = AD

BAE = CAD = 60度 - BAD

AB = AC

所以，△AEB≌△ADC

二、四边形BCGE是平行四边形。

根据一的结论可得：∠ABE = ∠C =60度。

所以，∠EBC = 120度，于是∠EBC+∠C = 180度，从而有：BE//CG

已知，EG//BC 所以，它是平行四边形。

（2）两个结论都成立。

（3）当CD = BC时，是菱形。
继续追问： 最后一题详细说 补充回答：