用变量代换x=et化简微分方程（x2lnx）y″-xy′+y=0，再通过变换z=dydt-y，求该微分方程的通解
用变量代换x=et化简微分方程（x2lnx）y″-xy′+y=0，再通过变换z=dydt-y，求该微分方程的通解．...
用变量代换x=et化简微分方程（x2lnx）y″-xy′+y=0，再通过变换z=dydt-y，求该微分方程的通解．
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设x=et，则
＝
＝
，
代入微分方程（x2lnx）y″-xy′+y=0中，可得：
t
-(t+1)
+y＝0．①
设z＝
?y，则
=
?
，
由①可得：
t
?z＝0．
即：
＝
．
两边积分可得：ln|z|=ln|t|+
．
从而，z=
t，
即：
?y＝
t
?y＝C1t．
利用一阶微分方程的求解公式可得，
y=e∫1dt(∫
te∫?1dtdt+C2)
=et(?
(1+t)e?t+C2)
=C1(1+t)+C2et．
故y=C1（1+ln|x|）+C2x．
| dy |
| dx |
| dy |
| dt |
| dt |
| dx |
| 1 |
| x |
| dy |
| dt |
代入微分方程（x2lnx）y″-xy′+y=0中，可得：
t
| d2y |
| dt2 |
| dy |
| dt |
设z＝
| dy |
| dt |
| dz |
| dt |
| d2y |
| dt2 |
| dy |
| dt |
由①可得：
t
| dz |
| dt |
即：
| dz |
| z |
| dt |
| t |
两边积分可得：ln|z|=ln|t|+
. |
| C1 |
从而，z=
. |
| C1 |
即：
| dy |
| dt |
. |
| C1 |
| dy |
| dt |
利用一阶微分方程的求解公式可得，
y=e∫1dt(∫
. |
| C1 |
=et(?
. |
| C1 |
=C1(1+t)+C2et．
故y=C1（1+ln|x|）+C2x．
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