Question

已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（2）若x=

已知函数f（x）=x3-ax2-3x．（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．（2）若x=-13是函数f（x）的极值点，求函数f（x）在[1，a]上的最大值．（3）设函数g（x）=f（x）-bx，在（2）的条件下，若函数g（x）恰有3个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）是增函数，
∴f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
则必有

a

3

≤1，且f′（1）=-2a≥0．
∴a≤0．
（2）依题意，f′（-

1

3

）=0，
即

1

3

+

2

3

a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x．
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
得x₁=-

1

3

，x₂=3．
则当x变化时，f′（x）与f（x）变化情况如下表

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6		-18		-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（3）函数g（x）有3个零点?方程f（x）-bx=0有3个不相等的实根．
即方程x³-4x²-3x=bx有3个不等实根．
∵x=0是其中一个根，
∴只需满足方程x²-4x-3-b=0有两个非零不等实根．
∴

?3?b≠0 16?4(?3?b)＞0

∴b＞-7且b≠-3．
故实数b的取值范围是b＞-7且b≠-3．