Question

定义[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中对于0≤x≤316时，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}-1和函数

定义[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中对于0≤x≤316时，函数f（x）=sin2[x]+sin2{x}-1和函数g（x）=[x]?{x}-x3?1的零点个数分别为m，n，则（　　）A．m=101，n=313B．m=101，n=314C．m=100，n=313D．m=100，n=314

Answer 1

由f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1=0得sin²{x}=1-sin²[x]=cos²[x]．
则{x}=

π

2

+2kπ+[x]或{x}=?

π

2

+2kπ+[x]，
即{x}-[x]=

π

2

+2kπ或{x}-[x]=-

π

2

+2kπ．
即x=

π

2

+2kπ或x=-

π

2

+2kπ．
若x=

π

2

+2kπ，∵0≤x≤316，
∴当k=0时，x=

π

2

，由x=

π

2

+2kπ≤316，解得k≤50.3，即k≤50，此时有51个零点，
若x=-

π

2

+2kπ，∵0≤x≤316，
∴当k=0时，x=-

π

2

不成立，由x=-

π

2

+2kπ≤316，解得k≤50.6，即k≤50，此时有50个零点，
综上f（x）=sin²[x]+sin²{x}-1的零点个数为50+51=101个．
∵{x}=

x，0≤x＜1 x?1，1≤x＜2 x?2.2≤x＜3 … x?315，315≤x＜316 x?316，x＝316

，
∴[x]{x}=

0，0≤x＜1 x?1，1≤x＜1 2(x?2)，2≤x＜3 … 315(x?315)，315≤x＜316 316(x?316)，x＝316

由g（x）=0得[x]?{x}=

x

3

+1，分别作出函数h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1的图象如图：
由图象可知当0≤x＜1和1≤x＜2时，函数h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1没有交点，
但2≤x＜3时，函数h（x）=[x]{x}和y=

x

3

+1在每一个区间上只有一个交点，
∵0≤x＜316，
∴g（x）=[x]?{x}-

x

3

?1的零点个数为316-2-1=313个．
故m=101，n=313．
故选：A．