Question

已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处

已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（-∞，-1）上的最大值．

Answer 1

（1）f（x）=ax²+1（a＞0），则f'（x）=2ax，k₁=2a，g（x）=x³+bx，则g′（x）=3x²+b，k₂=3+b，
由（1，c）为公共切点，可得：2a=3+b  ①
又f（1）=a+1，g（1）=1+b，
∴a+1=1+b，即a=b，代入①式可得：

a＝3 b＝3

．
（2）由题设a²=4b，设h(x)＝f(x)+g(x)＝x3+ax2+

1

4

a2x+1
则h′(x)＝3x2+2ax+

1

4

a2，令h'（x）=0，解得：x1＝?

a

2

，x2＝?

a

6

；
∵a＞0，∴?

a

2

＜?

a

6

，

x	（-∞，- a 2 ）	- a 2	(? a 2 ，? a 6 )	? a 6	(? a 6 ，+∞）
h′（x）	+		-		+
h（x）		极大值		极小值

∴原函数在（-∞，-

a

2

）单调递增，在(?

a

2

，?

a

6

)单调递减，在(?

a

6

，+∞）上单调递增
①若?1≤?

a

2

，即0＜a≤2时，最大值为h(?1)＝a?

a2

4

；
②若?

a

2

＜?1，即a＞2时，最大值为h(?

a

2

)＝1
综上所述：当a∈（0，2]时，最大值为h(?1)＝a?

a2

4

；当a∈（2，+∞）时，最大值为h(?

a

2

)＝1．