Question

设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是Ax=0的一个基础解系．证明：η，η+ξ1，…，η+

设η是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn-r是Ax=0的一个基础解系．证明：η，η+ξ1，…，η+ξn-r线性无关．

Answer 1

解答：证明：设存在一组数x，x₁，…，x_n-r，使
xη+x₁（η+ξ₁）+…+x_n-r（η+ξ_n-r）=0      （1）
即      
    （x+x₁+…+x_n-r）η+x₁ξ₁+…+x_n-rξ_n-r=0（2）
由题设Aη=b，Aξ_i=0（i=1，…，n-r）．
用矩阵A左乘（2）的两边，得（x+x₁+…+x_n-r）b=0
因b≠0，得
x+x₁+…+x_n-r=0                       （3）
代入（2）得x₁ξ₁+…+x_n-rξ_n-r=0
因基础解系ξ₁，…，ξ_n-r线性无关，
所以x₁=…=x_n-r=0，代入（3）得x=0．
因此（1）只有零解，从而η，η+ξ₁，…，η+ξ_n-r线性无关．