高数 求不定积分 答案如图2
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作倒代换，令x=1/t
则dx=-1/t²·dt
x=√2时，t=√2/2
x→∞时，t→0
所以，
原式=∫[√2/2~0]t³/√(1+t²-t^4)·(-1/t²)dt
=-∫[√2/2~0]t/√(1+t²-t^4)·dt
=∫[0~√2/2]t/√(1+t²-t^4)·dt
=1/2·∫[0~1/2]1/√(1+u-u²)·du
【令u=t²，则du=2tdt
t=0时，u=0
t=√2/2时，u=1/2】
=1/2·∫[0~1/2]1/√[5/4-(u-1/2)²]·du
=1/2·arcsin[(u-1/2)/(√5/2)] |[0~1/2]
【基本积分公式：
∫1/√(a²-x²)·dx=arcsin(x/a)】
=0-1/2·arcsin(-1/√5)
=1/2·arcsin(1/√5)
则dx=-1/t²·dt
x=√2时，t=√2/2
x→∞时，t→0
所以，
原式=∫[√2/2~0]t³/√(1+t²-t^4)·(-1/t²)dt
=-∫[√2/2~0]t/√(1+t²-t^4)·dt
=∫[0~√2/2]t/√(1+t²-t^4)·dt
=1/2·∫[0~1/2]1/√(1+u-u²)·du
【令u=t²，则du=2tdt
t=0时，u=0
t=√2/2时，u=1/2】
=1/2·∫[0~1/2]1/√[5/4-(u-1/2)²]·du
=1/2·arcsin[(u-1/2)/(√5/2)] |[0~1/2]
【基本积分公式：
∫1/√(a²-x²)·dx=arcsin(x/a)】
=0-1/2·arcsin(-1/√5)
=1/2·arcsin(1/√5)
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