Question

如图,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能达到B、C），过·点D作∠ADE=45°，DE交AC于E

（1）求证：△ABD相似△DCE
（2）设BD=x，AE=y,求y与x之间的函数关系，并写出自变量x的取值范围。
附图。

Answer 1

这个蛮好做的，就是相似呗~ 呵呵。

（1）
因为 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC，
所以 ∠B = ∠C = 45°。

△ABD中，∠B = 45°，
所以 ∠BAD + ∠BDA = 135°。

又因为 ∠ADE=45°，
所以 ∠EDC + ∠BDA = 135°.

所以 ∠BAD = ∠EDC

在△ABD和△DCE中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠EDC ，
所以 △ABD∽△DCE。

（2）
根据相似三角形对应边成比例：
因为 △ABD∽△DCE，
所以 AB/DC = BD/CE.

Rt△ABC中 AB=AC=2，
所以 BC = 根号下（2^2 + 2^2) = 2根号2.

BD = x,所以 CD=2根号2-x.

所以 2/(2根号2-x) = x/CE.
所以 CE = -1/2 * x^2 + 根号2 * x。

所以
y = 2 - CE
= 2 - ( -1/2 * x^2 + 根号2 * x )
= 1/2 * x^2 - 根号2 * x + 2.