高中数学题第十题求解
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【答案】D
【解析】由题意可得：
f'(x)=e^x/x^2-f(x)/x=[e^x-xf(x)]/x
令g(x)=e^x-xf(x)
∴g'(x)=e^x-[xf'(x)+f(x)]=e^x-e^x/x=e^x(1-1/x)
当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)>g(1)=e-f(1)=e-e=0，即f'(x)>0
∴f(x)在(0，1)单调递增
当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)>g(1)=e-f(1)=e-e=0，即f'(x)>0
∴f(x)在(1，+∞)单调递增
∴x>0时，f(x)既无极大值，也无极小值
【解析】由题意可得：
f'(x)=e^x/x^2-f(x)/x=[e^x-xf(x)]/x
令g(x)=e^x-xf(x)
∴g'(x)=e^x-[xf'(x)+f(x)]=e^x-e^x/x=e^x(1-1/x)
当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减，
∴g(x)>g(1)=e-f(1)=e-e=0，即f'(x)>0
∴f(x)在(0，1)单调递增
当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增，
∴g(x)>g(1)=e-f(1)=e-e=0，即f'(x)>0
∴f(x)在(1，+∞)单调递增
∴x>0时，f(x)既无极大值，也无极小值
追问
老师，那这里f（x）在（-∞,0）∪（0,+∞）也是这样吗？
追答
不是，与范围有关
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