Question

如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF ∥ BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，

如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF ∥ BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．求证：（1）四边形ABDF是菱形；（2）AC=2DG．

Answer 1

证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义）， ∴DE ∥ AB，DE= 1 2 AB（三角形中位线性质）．（1分） ∵AF ∥ BC， ∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分） ∵BC=2AB，BC=2BD， ∴AB=BD．（1分） ∴四边形ABDF是菱形．（1分） （2）∵四边形ABDF是菱形， ∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）． ∵DE= 1 2 AB， ∴EF= 1 2 AF．（1分） ∵G是AF的中点． ∴GF= 1 2 AF， ∴GF=EF．（1分） ∴△FGD≌△FEA，（1分） ∴GD=AE， ∵AC=2EC=2AE， ∴AC=2DG．（1分）