Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD= 7 ，PA= 3 ，∠ABC=

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD= 7 ，PA= 3 ，∠ABC=120°，G为线段PC的中点．（1）证明：PA ∥ 平面BGD；（2）求直线DG与平面PAC所成的角的正切值．

Answer 1

（1）证明：设点O为AC、BD的交点，由AB=BC，AD=CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点， 连结OG， 因为G为PC的中点，所以OG ∥ PA， 又因为PA?平面BGD，OG?平面BGD， 所以PA ∥ 面BGD； （2）因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥PA， 又由（1）知BD⊥AC，PA∩AC=A， 所以BD⊥平面PAC， 所以DG与面PAC所成的角是∠DGO． 由（1）知： OG= 1 2 PA= 3 2 ，在△ABC中， AC= A B 2 +B C 2 -2AB?BC?cos∠ABC =2 3 ， 所以 OC= 1 2 AC= 3 ， 在直角△OCD中， OD= C D 2 -O C 2 =2 ， 在直角△OGD中， tan∠DGO= OD OG = 4 3 3 ， 所以直线DG与面PAC所成的角的正切值是 4 3 3 ．