Question

二次函数与x轴有几个交点的△公式是怎么推导的

Answer 1

解二次函数的顶点式的配方过程
y=ax^2 +bx+c
=a(x^2+b/a *x)+c
= a(x^2+b/a*x +b^2/4a^2 - b^2/4a^2)+c
=a(x+b/2a)^2 -b^2/4a + c
=a(x+b/2a)^2 -b^2/4a + 4ac/4a
=a(x+b/2a)^2+(4ac -b^2) /4a
令y=0
则a(x+b/2a)^2+(4ac -b^2) /4a =0
则(x+b/2a)^2=-(4ac -b^2) /4a^2
则(x+b/2a)^2=(b^2-4ac) /4a^2
设Δ=b^2-4ac
则Δ＜0时，方程(x+b/2a)^2=Δ /4a^2＜0，此时方程无解，即函数的图像与x轴无交点
则Δ=0时，方程(x+b/2a)^2=Δ /4a^2=0，此时方程有两实根个相等的，即函数的图像与x轴只有一个交点
则Δ＞0时，方程(x+b/2a)^2=Δ /4a^2＞0，此时方程两解，即函数的图像与x轴有两个不同的交点。