Question

如图，已知AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，线段OP与弦BC垂直并相交于点D，OP与弧BC相交于点E，连接AC

如图，已知AB为⊙O的直径，PB与⊙O相切于点B，线段OP与弦BC垂直并相交于点D，OP与弧BC相交于点E，连接AC．（1）求证：∠PBC=∠BAC，且PB?AC=BA?CD；（2）若PB=10，sin∠P=35，求PE的长．

Answer 1

（1）证明：∵PB是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PBO=90°，∠C=90°，
∴世枣春∠PBC+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠PBC=∠A，
又∵OP⊥BC，
∴∠BDP=∠C=90°，
∴△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=BD：AC，搜耐
∵在⊙O中，BD⊥OD，
∴BD=CD，
∴BP：AB=CD：AC，
∴PB?AC=BA?CD；

（2）解：∵sinP=

3

5

，且BP=10，
∴

BD

BP

＝

3

5

，
∴BD=6，
∴BC=2BD=12，
∵在Rt△BDP中，PD=

BP2?BD2

=8，
又∵△PBD∽△BAC，
∴BP：AB=PD：BC，
∴AB=15，
∴B0=OE=7.5，
在Rt△APO中，根据勾股定理岩空得：OP=12.5，
∴PE=OP-OE=12.5-7.5=5．