Question

已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）

已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn=8an?an+1，数列{bn}的前n项和为Sn，当x∈[2，4]时，对于任意的正整数n，不等式x2+mx+m≥Sn恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设等差数列的公差是d，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，即2，2+d，2+4d成等比数列，
∴（2+d）²=2（2+4d），即d²=4d，解得d=0或d=4，
∵公差d不为0，∴d=4．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+4（n-1）=4n-2，
即的通项公式为a_n=4n-2．
（Ⅱ）∵

bn＝ 8 an?an+1 ＝ 8 (4n?2)(4n+2) ＝ 2 (2n?1)(2n+1) ＝ 1 2n?1 ? 1 2n+1

∴S_n=1?

1

3

+

1

3

?

1

5

+…+

1

2n?1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1，
当x∈[2，4]时，对于任意的正整数n，不等式x²+mx+m≥S_n恒成立，
即x²+mx+m≥1，则（x+1）（x-1+m）≥0，
当x∈[2，4]时，x+1＞0，
∴不等式等价为x-1+m≥0，
即m≥1-x在x∈[2，4]时恒成立，
∵1-x∈[-3，-1]
即m≥-1．