Question

第十四题 谢谢

Answer 1

14.圆：x^2+(y-1)^2=1,
设x=cosu,y=1+sinu,
由椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1包含圆，得
(cosu)^2/a^2+(1+sinu)^2/b^2<=1,
∴a^2b^2>=b^2(cosu)^2+a^2[1+2sinu+(sinu)^2]
=a^2+b^2+2a^2sinu+(a^2-b^2)(sinu)^2
=(a^2-b^2)[sinu+a^2/(a^2-b^2)]^2+a^2+b^2-a^4/(a^2-b^2),①
当a^2>b^2>0时a^2/(a^2-b^2)>1,sinu=1,x=cosu=0,①取最大值，舍去；
当b^2>2a^2>0时0>a^2/(a^2-b^2)>-1,①取到最大值b^4/(b^2-a^2),
a^2b^2>=b^4/(b^2-a^2),
a^2b^2-a^4>=b^2,
(a^2-1)b^2>=a^4,
只需2a^2(a^2-1)>=a^4,
2(a^2-1)>=a^2,a^2>=2,
a^2b^2>2a^4=8,ab无法取到最小值。
2a^2>=b^2>a^2时a^2/(a^2-b^2)<=-1,sinu=-1,x=cosu=0时①取最大值，不合题意，舍去。
本题无解。