Question

4/1*2*3+5/2*3*4+6/3*4*5+.....+11/8*9*10=

4/1*2*3+5/2*3*4+6/3*4*5+.....+11/8*9*10=有什么简便的方法呀，麻烦解释详细些，谢谢～

Answer 1

原是=4/2(1/1*2-1/2*3)+5/2(1/2*3-1/3*4)+6/2(1/3*4-1/4*5)+……
+11/2(1/8*9-1/9*10)
这是第一次裂项,将（1*2*3）分之4裂成4/2(1/1*2-1/2*3)
（2*3*4）分之5裂成5/2(1/2*3-1/3*4)……依次类推
继续运算得
原是=1+1/2{1/2*3+1/3*4+……+1/8*9｝-（11/2)*(1/9*10)
这里需要将大括号里面的做第二次裂项运算
｛｝里面的内容为1/2*3+1/3*4+……+1/8*9+1/9*10
=1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/8-1/9
=首项-末项=1/2-1/9
这里将1/2*3裂成1/2-1/3；将1/3*4裂成1/3-1/4；以此类推
故原是=1+1/2{}-11/180
=1+1/2{1/2-1/9}-11/180
=1+1/4-1/18-11/180
=17/15
偶很认真把,觉得好的话请给分,

Answer 2

(n+3)/n*(n+1)*(n+2)=x/n*(n+1)-y/(n+1)*(n+2),
化简 [x(n+2)-ny]=n*(n+1)*(n+2)=(n+3)/n*(n+1)*(n+2)
(x-y)n+2x=n+3
x-y=1, 2x=3, 解得x=3/2, y=1/2
原式=1/2{[3/1*2-1/2*3]+[3/2*3-1/3*4]+[3/3*4-1/4*5]+[3/4*5-1/5*6]+[3/5*6-1/6*7]+[3/6*7-1/7*8]+[3/7*8-1/8*9]+[3/8*9-1/9*10]
每一个中括号内有二个数，把前一个括号内的第二数与后一个括号内的第一个数相加
=1/2{3/2+(1/3+1/6)+(1/10+1/15)+(1/21+1/28)+1/36-1/90}
=1/2{(3/2+1/2)+(1/6+1/12)+(1/36-1/90)}
=1/2{2+1/4+1/60}
=17/15