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高数一个求极限的计算题 求大神帮忙解一下

高数一个求极限的计算题 求大神帮忙解一下如图，1.30题，是1.30哦

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Answer 1

先计算lim(x->0+) x^x=lim(x->0+) e^(xlnx)=e^lim(x->0+) lnx/(1/x)=e^lim(x->0+) (1/x)/(-1/x^2)=e^lim(x->0+) (-x)=e^0=1
原式=lim(x->0+) x^x*[1-(sinx/x)^x]/x^3
=lim(x->0+) [1-(sinx/x)^x]/x^3
=lim(x->0+) {1-e^[xln(sinx/x)]}/x^3
=lim(x->0+) [-xln(sinx/x)]/x^3
=lim(x->0+) [ln(x/sinx)]/x^2
=lim(x->0+) [ln(1+x/sinx-1)]/x^2
=lim(x->0+) (x/sinx-1)/x^2
=lim(x->0+) (x-sinx)/(sinx*x^2)
=lim(x->0+) (x-sinx)/x^3
=lim(x->0+) (1-cosx)/3x^2
=lim(x->0+) (x^2/2)/3x^2
=1/6