证明两个矩阵相似的充要条件是什么？
证明两个矩阵相似的充要条件：
1、两者的秩相等
2、两者的行列式值相等
3、两者的迹数相等
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
5、两者拥有同样的特征多项式
6、两者拥有同样的初等因子
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
任意两个3阶矩阵A,B相似的方法。
1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|,g(λ)=|λE-B|。
2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。
3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A,B相似。
4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根,即,
f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0, 则矩阵A,B相似。
扩展资料：
相似矩阵定理：
定理1
n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。
注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。
若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：
（1） 求出全部的特征值；
（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；
（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。
推论：
若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。
对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P， 使其为对角阵，则称方阵A可对角化。
定理2
n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。
定理3
对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。
参考资料：百度百科-相似矩阵
证明两个矩阵相似的充要条件：
1、两者的秩相等
2、两者的行列式值相等
3、两者的迹数相等
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同
5、两者拥有同样的特征多项式
6、两者拥有同样的初等因子
若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。
扩展资料
两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似。
但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似。
比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。
比如如下两个矩阵
1 0 1 1
0 1和 0 1，
显然它们的特征值都是1，1
但是不能对角化，
因为1 1 不能找到两个线性无关的特征向量
0 1
注意n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件就是A有n个线性无关的特征向量，不能只看特征值。
所以当这两个矩阵都是实对称矩阵时，都一定可以对角化，于是有相同的特征值就一定相似。
两个矩阵相似
充要条件是
特征矩阵等价
行列式因子相同
不变因子相同
初等因子相同且特征矩阵的秩相同
转置矩阵相似
1、相似的定义为：对n阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A、B相似。
2、从定义出发，最简单的充要条件即是：对于给定的A、B，能够找到这样的一个P，使得：
P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C，使得A和B均相似于C。
3、进一步地，如果A、B均可相似对角化，则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值。
4、再进一步，
因为每个矩阵都相似于唯一一个其标准若尔当型，
那么只要他们的标准若尔当型相同（当然他们的若尔当块可适当调整位置），他们就相似。
1、相似的定义为：对n阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称A、B相似。
2、从定义出发，最简单的充要条件即是：对于给定的A、B，能够找到这样的一个P，使得：
P^(-1)AP=B；或者：能够找到一个矩阵C，使得A和B均相似于C。
3、进一步地，如果A、B均可相似对角化，则他们相似的充要条件为：A、B具有相同的特征值。
4、再进一步，
因为每个矩阵都相似于唯一一个其标准若尔当型，
那么只要他们的标准若尔当型相同（当然他们的若尔当块可适当调整位置），他们就相似。
