一道微积分习题
这道题我从f(x)具有任意性入手来证明，但是被老师说证明不严谨，希望有人能给出一些严谨的证明，或者找到该题标准答案也行，最好是能给出多个角度的解答，谢谢...
这道题我从f(x)具有任意性入手来证明，但是被老师说证明不严谨，希望有人能给出一些严谨的证明，或者找到该题标准答案也行，最好是能给出多个角度的解答，谢谢
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用反证法，假设g(x)不恒等于0，即存在x0∈(a,b]，使得g(x0)≠0，不妨令g(x0)>0
记x1=inf{x|∀t∈(x,x0),f(t)>0}，根据连续函数的保号性，g(x1)=0
令h(x)=ln[g(x)]，则lim(x->x1+)h(x)=lim(x->x1+)ln[g(x)]=-∞
另一方面，因为对∀x∈(x1,x0)，有|g(x)f(x)+λg'(x)|<=|g(x)|
|f(x)+λg'(x)/g(x)|<=1
|λg'(x)/g(x)|-|f(x)|<=|f(x)+λg'(x)/g(x)|<=1
|g'(x)/g(x)|<=(|f(x)|+1)/|λ|
所以|h'(x)|=|g'(x)/g(x)|<=(|f(x)|+1)/|λ|
因为f(x)在[x1,x0]上连续，所以存在M>0，使得|f(x)|<M
|h'(x)|<=(M+1)/|λ|，即h(x)在(x1,x0)上有界
这与lim(x->x1+)h(x)=-∞矛盾
所以g(x)恒等于0
记x1=inf{x|∀t∈(x,x0),f(t)>0}，根据连续函数的保号性，g(x1)=0
令h(x)=ln[g(x)]，则lim(x->x1+)h(x)=lim(x->x1+)ln[g(x)]=-∞
另一方面，因为对∀x∈(x1,x0)，有|g(x)f(x)+λg'(x)|<=|g(x)|
|f(x)+λg'(x)/g(x)|<=1
|λg'(x)/g(x)|-|f(x)|<=|f(x)+λg'(x)/g(x)|<=1
|g'(x)/g(x)|<=(|f(x)|+1)/|λ|
所以|h'(x)|=|g'(x)/g(x)|<=(|f(x)|+1)/|λ|
因为f(x)在[x1,x0]上连续，所以存在M>0，使得|f(x)|<M
|h'(x)|<=(M+1)/|λ|，即h(x)在(x1,x0)上有界
这与lim(x->x1+)h(x)=-∞矛盾
所以g(x)恒等于0
更多追问追答
追问
两个问题：
1、记x1=inf{x|∀t∈(x,x0),f(t)>0}中，t的范围是否有错？为什么要取f(t)>0？
2、为什么可以根据连续函数的保号性，g(x1)=0？
追答
1、这里我笔误了，应该是g(t)>0
2、因为g(x0)>0，所以根据保号性，存在x0的一个左邻域(x,x0)，其中a0
所有符合条件的x的集合的下确界x1，满足g(x1)=0，否则根据保号性，必定存在x1的一个左邻域(x,x1)，其中a0，这就与x1是x的下确界矛盾
所以g(x1)=0
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