Question

高数 中值定理

Answer 1

取区间[a,b]的中点(a+b)/2
根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,(a+b)/2)，使得
f'(ξ)=[f((a+b)/2)-f(a)]/[(a+b)/2-a]=2[f((a+b)/2)-f(a)]/(b-a)
令g(x)=x^2，则根据柯西中值定理，存在η∈((a+b)/2,b)，使得
f'(η)/g'(η)=[f(b)-f((a+b)/2)]/[g(b)-g((a+b)/2)]
f'(η)/2η=[f(b)-f((a+b)/2)]/[b^2-(a+b)^2/4]=4[f(b)-f((a+b)/2)]/(3b+a)(b-a)
所以f'(ξ)/(3b+a)+f'(η)/4η
=2[f((a+b)/2)-f(a)]/(b-a)(3b+a)+2[f(b)-f((a+b)/2)]/(3b+a)(b-a)
=2[f(b)-f(a)]/(b-a)(3b+a)
=0