Question

如图，一次函数y=2x﹣2的图象与x轴、y轴分别相交于B、A两点，与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为M

如图，一次函数y=2x﹣2的图象与x轴、y轴分别相交于B、A两点，与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为M（3，m）．（1）求反比例函数的解析式；（2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

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Answer 1

（1）y=    （2）存在．理由见解析

试题分析：（1）先把M（3，m）代入y=2x﹣2求出m，确定M点的坐标，然后利用待定系数法确定反比例函数解析式； （2）先确定A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0），再根据勾股定理计算出AB= ；根据M点坐标得到MC=4，BC=2，则利用勾股定理可计算出BM=2 ，然后证明Rt△OBA∽Rt△MBP，利用相似比计算出BP，于是可确定P点坐标． 解：（1）把M（3，m）代入y=2x﹣2得m=2×3﹣2=4， ∴M点坐标为（3，4）， 把M（3，4）代入y= 得k=3×4=12， ∴反比例函数的解析式为y= ； （2）存在． 作MC⊥x轴于C，如图， 把x=0代入y=2x﹣2得y=﹣2；把y=0代入y=2x﹣2得2x﹣2=0，解得x=1， ∴A点坐标为（0，﹣2），B点坐标为（1，0）， ∴OA=2，OB=1， 在Rt△OAB中，AB= = ， ∵M点坐标为（3，4）， ∴MC=4，BC=3﹣1=2， 在Rt△MBC中，MB= =2 ， ∵MA⊥MB， ∴∠BMP=90°， 而∠OBA=∠MBP， ∴Rt△OBA∽Rt△MBP， ∴ = ，即 = ， ∴BP=10， ∴OP=11， ∴点P的坐标为（11，0）． 点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．