Question

设正数x，y，z，（1）满足x+y+z=1，求证：1x+4y+9z≥36；（2）若x+y=1，求(x+1x)(y+1y)的最小值

设正数x，y，z，（1）满足x+y+z=1，求证：1x+4y+9z≥36；（2）若x+y=1，求(x+1x)(y+1y)的最小值．

Answer 1

（1）证明：（利用柯西不等式）

1

x

+

4

y

+

9

z

＝(

1

x

+

4

y

+

9

z

)(x+y+z)≥(1+2+3)2＝36
（2）解：(x+

1

x

)(y+

1

y

)=xy+

1

xy

+

y

x

+

x

y

=xy+

2

xy

-2
∵x+y=1，∴0＜xy≤

1

4

，
∵t=xy+

2

xy

在（0，

1

4

]上单调递减，
∴(x+

1

x

)(y+

1

y

)的最小值为

1

4

+8-2=

25

4

．