(2013?福建)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.

(2013?福建)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(Ⅰ)当正视方向与向量AD的方... (2013?福建)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.(Ⅰ)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥P-ABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);(Ⅱ)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;(Ⅲ)求三棱锥D-PBC的体积. 展开
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黎约圣殿KGAC
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知道答主
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解:(Ⅰ)在梯形ABCD中,作CE⊥AB,E为垂足,
则四边形ADCE为矩形,∴AE=CD=3.
直角三角形BCE中,∵BC=5,CE=AD=4,
由勾股定理求得BE=3,∴AB=6.
在直角三角形PAD中,∵∠PAD=60°,AD=4,∴PD=AD?tan60°=4
3

四棱锥P-ABCD的正视图如图所示:
(Ⅱ)∵M为PA的中点,取PB得中点为N,则MN平行且等于
1
2
AB,
再由CD平行且等于
1
2
AB,可得MN和CD平行且相等,
故MNCD为平行四边形,故DM∥CN.
由于DM 不在平面PBC内,而CN在平面PBC内,故DM∥平面PBC.
(Ⅲ)三棱锥D-PBC的体积VD-PBC=VP-BCD=
1
3
S△BCD?PD
=
1
3
(S梯形ABCD-S△ABD)?PD
=
1
3
[
4(3+6)
2
-
1
2
×6×4
]×4
3
=8
3
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