Question

（2014?福建模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，且DC=2AD=2，E为PC上一点，PE

（2014?福建模拟）如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PD⊥AC于点D，且DC=2AD=2，E为PC上一点，PE：EC=1：2，（Ⅰ）求证：DE∥平面PAB；（Ⅱ）求证：平面PDB⊥平面ABC；（Ⅲ） 若PD=2，AB=3，∠ABC=60°，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

（Ⅰ）∵

PE

EC

＝

AD

DC

＝2 ， ∴DE∥PA，…（2分）∵DE?平面PAB，PA?平面PAB，∴DE∥平面PAB；…（3分）
（Ⅱ）因为平面PAC⊥平面ABC，
且平面PAC∩平面ABC=AC，PD?平面PAC，PD⊥AC，
所以PD⊥平面ABC，…（6分）
又PD?平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABC．…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知PD⊥平面ABC． 
法一：△ABC中，AB＝

3

，∠ABC=60°，AC=3，
由正弦定理

AB

sin∠ACB

＝

AC

sin∠ABC

，得sin∠ACB＝

1

2

，
因为AC＞AB，所以∠ACB＜∠ABC，则∠ACB＝

π

6

，因此∠CAB＝

π

2

，…（8分）
△ABC的面积S△ABC＝

1

2

AC?AB＝

1

2

?3?

3

＝

3 3

2

．       …（10分）
所以三棱锥P-ABC的体积VP?ABC＝

1

3

×S△ABC×PD=

3

．   …（12分）
法二：△ABC中，AB＝

3

，∠ABC=60°AC=3，由余弦定理得：AC²=AB²+BC²-2AB?BC?cos60°，
所以BC²-

3

BC-6=0，
所以BC=2

3

或-

3

（舍去）．                    …（8分）
△ABC的面积S△ABC＝

1

2

AB?BC?sin60°＝

1

2

?

3

?2

3

?

3

2

＝

3 3

2

．  …（10分）
所以三棱锥P-ABC的体积VP?ABC＝

1

3

×S△ABC×PD=

3

．       …（12分）