Question

（2012?随州）如图：已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点．（1）求证：以AB

（2012?随州）如图：已知直角梯形ABCD，∠B=90°，AD∥BC，并且AD+BC=CD，O为AB的中点．（1）求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；（2）若OC=8cm，OD=6cm，求CD的长．

Answer 1

（1）过AB的中点O作OE⊥CD于E，

∵S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）?AB=（AD+BC）?OA=2（

1

2

AD?OA+

1

2

BC?OB）=2（S_△OAD+S_△OBC），
且S_梯形ABCD=S_△OBC+S_△OAD+S_△OCD，
∴S_△OBC+S_△OAD=S_△OCD，且OA=OB，
∴

1

2

AD?OA+

1

2

BC?OB=

1

2

AD?OA+

1

2

BC?OA=

1

2

（AD+BC）?OA=

1

2

CD?OE，
又∵AD+BC=CD，
∴OA=OE，
∴E点在以AB为直径的⊙O上，
又∵OE⊥CD，
∴CD是⊙O的切线，即CD与⊙O相切；
（2）在CD上取中点F，连接OF，

∵OF为梯形ABCD的中位线，且AD+BC=CD，
∴OF=

1

2

（AD+BC）=

1

2

CD，
∴O点在以CD为直径的⊙F上，
∴∠COD=90°，
在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，
∴根据勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=

62+82

=10cm．