Question

已知数列{an}的首项a1=35，an+1＝3an2an+1，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列{1an?1}为等比数列；（Ⅱ）记Sn=

已知数列{an}的首项a1=35，an+1＝3an2an+1，其中n∈N+．（Ⅰ）求证：数列{1an?1}为等比数列；（Ⅱ）记Sn=1a1+1a2+…+1an，若Sn＜100，求最大的正整数n．

Answer 1

解答：（Ⅰ）证明：∵

1

an+1

＝

2

3

+

1

3an

，∴

1

an+1

?1＝

1

3an

?

1

3

，
∵

1

a1

?≠0，∴

1

an

?1≠0(n∈N₊），
∴数列{

1

an

?1}为等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可求得

1

an

?1＝

2

3

×(

1

3

)n?1，∴

1

an

＝2×(

1

3

)n+1
Sn＝

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＝n+2×(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=n+2?

1 3 ? 1 3n+1

1? 1 3

＝n+1?

1

3n

，
若S_n＜100，则n+1-

1

3n

＜100，
∴n_max=99．