求微分方程特解
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求微分方程 y'=(x/y)+(y/x) 满足条件y(-1)=0的特解
解：y'=(x²+y²)/xy； 即 yy'=x+(y²/x)；
先求 yy'-(y²/x)=0的通解：分离变量得 y'/y=dx/x；积分之得：lny=lnx+lnc₁=lnc₁x
故y=c₁x；将c₁换成x的函数u，得： y=ux.........①；取导数得 y'=u+u'x..........②;
将①②代入原式得：u+u'x=(1/u)+u；化简得：u'x=1/u；
分离变量得：udu=dx/x；积分之得：(1/2)u²=ln∣x∣+lnc=lnc∣x∣
即u²=2lnc∣x∣；代入①式[y²=u²x²]即得通解：y²=2x²lnc∣x∣;
代入初始条件y(-1)=0得c=1; 故特解为：y²=2x²ln∣x∣；
解：y'=(x²+y²)/xy； 即 yy'=x+(y²/x)；
先求 yy'-(y²/x)=0的通解：分离变量得 y'/y=dx/x；积分之得：lny=lnx+lnc₁=lnc₁x
故y=c₁x；将c₁换成x的函数u，得： y=ux.........①；取导数得 y'=u+u'x..........②;
将①②代入原式得：u+u'x=(1/u)+u；化简得：u'x=1/u；
分离变量得：udu=dx/x；积分之得：(1/2)u²=ln∣x∣+lnc=lnc∣x∣
即u²=2lnc∣x∣；代入①式[y²=u²x²]即得通解：y²=2x²lnc∣x∣;
代入初始条件y(-1)=0得c=1; 故特解为：y²=2x²ln∣x∣；
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