Question

微分方程求特解

Answer 1

y''+y'^2=1
令u=y'，则u(0)=y'(0)=0
u'+u^2=1
u'=1-u^2
du/(1+u)(1-u)=dx
∫[1/(1+u)+1/(1-u)]du=∫2dx
ln|1+u|-ln|1-u|=2x+C1，其中C1是任意常数
(1+u)/(1-u)=C1*e^(2x)
因为u(0)=0，所以C1=1
(1+u)/(1-u)=e^(2x)
2/(1-u)-1=e^(2x)
1-u=2/[e^(2x)+1]
u=1-2/[e^(2x)+1]
y'=u=[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]
y=∫[e^(2x)-1]/[e^(2x)+1]dx
=∫[e^x-e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]dx
=∫d[e^x+e^(-x)]/[e^x+e^(-x)]
=ln[e^x+e^(-x)]+C2，其中C2是任意常数
因为y(0)=0，所以C2=-ln2
所求特解为：y=ln[e^x+e^(-x)]-ln2