Question

求解一道高数高数题

一汽艇从甲地开往乙地,设汽艇耗油量与行使速度的立方成正比,汽艇逆流而上,水的流速为a(km/h),
问汽艇以什么速度行使使耗油量最少
书后面就给一个答案3a/2，完全不知道怎么算

Answer 1

设速度为v，则单位油耗P=kv³（k＞0，k为常数）

设甲乙之间的距离为S（S为常数），那么逆流到达需要的时间t=S/(v-a)
所以，总油耗M=kv³·[S/(v-a)]
==> M'=Sk·[3v²(v-a)-v³]/(v-a)²=Skv²[3(v-a)-v]/(v-a)²
=Skv²(2v-3a)/(v-a)²
当v＞3a/2时，M'＞0，M单调递增；当0＜v＜3a/2时，M'＜0，M单调递减
所以，当v=3a/2时有极小值。