Question

求解一道高数题

求解：某工厂再生产某种产品中要使用甲乙两种原材料,已知甲乙两种原材料分别使用x单元和y单元可生产u单位的产品，u=8xy+32x+40y-4x^2-6y^2,且甲种原材料单价为10元，乙种原材料单价为4元，单位产品的售价为40元，求该工厂再生产这个产品上的最大利润。

Answer 1

利润P(x,y)=R(x,y)-C(x,y) = 40u - (10ux+4uy) = u(40-10x-10y) = (8xy+32x+40y-4x^2-6y^2)(40-10x-10y) = 1280 x - 480 x^2 + 40 x^3 + 1600 y - 400 x y - 40 x^2 y - 640 y^2 - 20 x y^2 + 60 y^3 

对x求偏导数 Fx(x,y) = 1280 - 960x + 120x^2 -400y -80xy -20y^2

对y求偏导数 Fy(x,y) = 1600 - 400x -40x^2 -1280y -40xy +180y^2

解方程组：

Fx(x,y) = Fy(x,y) = 0  

解出x = 1/9 (138 + 5√[678]), y = 2/9 (57 + 2 √[678])或x=1/9 (138 - 5√[678]), y= 2/9 (57 - 2 √[678])  因为x、y均大于0

下面求二阶导数

A=Fxx = -960 + 240x -80y 

B=Fxy = -400-80x-40y

C=Fyy = -1280-40x+360y

验证当x = 1/9 (138 + 5√[678]), y = 2/9 (57 + 2 √[678])时。 AC-B^2 = 1.250805499*10^7 >0

且A = 4252.646795>0 是极小值。

验证当x=1/9 (138 - 5√[678]), y= 2/9 (57 - 2 √[678])时。 AC-B^2 = 509545 >0

且A = -839.3134619<0 是极大值。

因此当x=1/9 (138 - 5√[678]), y= 2/9 (57 - 2 √[678])时有最大利润（在定义域内有唯一极大值即为最大值），取整：x=1，y=1

即Pmax = P(1,1) = 1400元

望采纳..........累死了。图片是方程的全部解。