Question

高等数学：求极限，如图，

Answer 1

(6)题，分子有理化，√(1+xsinx)+cosx是连续函数、x=0时其值为2，∴原式=lim(x→0)(xsinx+sin²x)/[2sin²(x/2)]=lim(x→0)(xsinx+sin²x)/(1-cosx)。用洛必达法则，

∴原式=4。

(8)题，∵(1+tanx)/(1+sinx)=1+(tanx-sinx)/(1+sinx)、x→0时，tanx-sinx→0，
∴原式=e^{lim(x→0)ln[1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]/x³}。
而，ln[1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]~(tanx-sinx)/(1+sinx)，∴lim(x→0)ln[1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]/x³=lim(x→0)(tanx-sinx)/[(1+sinx)/x³]=1/2。
∴原式=e^(1/2)。
供参考。