Question

设向量组α1,α2,...αs线性无关，而向量组α1,α2,...αs,β线性相关

（1）设向量组α1,α2,...αs线性无关，而向量组α1,α2,...αs,β线性相关，证明向量组α1,α2,...αs线性表出，且表法唯一。
（2）假设向量β可由向量组α1,α2,...αs线性表出，证明：表法唯一的充要条件是α1,α2,...αs线性无关。 有没有大神会这两道题

Answer 1

仅扣定义去做就行了。
（1）向量组α1,α2,...αs线性无关，而向量组α1,α2,...αs,β线性相关，那么有不全为零的数k1，k2，...，ks，k，使k1α1+k2α2+...+ksαs+kβ=0，有k不等于0，否则k1，k2，...，ks中有非零数，且k1α1+k2α2+...+ksαs=0，与向量组α1,α2,...αs线性无关矛盾，那么两边同时除以k，β=（k1/k)α1+(k2/k)α2+...+(ks/k)αs。如果还有β=b1α1+b2α2+...+bsαs。两者做差，有（k1/k-b1)α1+(k2/k-b2)α2+...+(ks/k-bs)αs=0，由于向量组α1,α2,...αs线性无关，有k1/k=b1，k2/k=b2,...,ks/k=bs，所以表法唯一。
（2）
→：k1α1+k2α2+...+ksαs=0，由于β可由向量组α1,α2,...αs线性表出，则β=b1α1+b2α2+...+bsαs，而β=β+0=(b1+k1)α1+(b2+k2)α2+...+(bs+ks)αs，由于表法唯一，所以b1+k1=b1，b2+k2=b2，...，bs+ks=bs，所以k1=k2=...=ks=0，所以α1,α2,...αs线性无关。
←β=b1α1+b2α2+...+bsαs=k1α1+k2α2+...+ksαs，有(b1-k1)α1+(b2-k2)α2+...+(bs-ks)αs=0，由于α1,α2,...αs线性无关，所以b1=k1，b2=k2，...，bs=ks，所以表法唯一。