Question

设F(x)为f(x)的原函数，若当x≥0时，有f(x)×F(x)＝sin²2x,

且F(0)＝1，F(x)≥0，试求f(x)

Answer 1

• 设F(x)是f(x)的一个原函数,且当x≥0时,有f(x)F(x)＝ sin² 2x .F(0)＝1.F(x)≥0.求f(x)的表达式

• 优质解答

• 对方程 f(x)F(x)=(sin2x)^2 两边积分得 
  { f(x)F(x)dx={ (sin2x)^2 dx 标注:符号 { 表示积分号 
  因为 f(x)的原函数是 F(x) 
  所以 上面的式子与下面的等价 
  { f(x)df(x)={ (sin2x)^2dx 
  => 1/2f(x)^2 = { (1+cos4x)/2 dx 
  => f(x)^2=1+1/4sin4x+C(常数) 
  又因为 F(0)=1 
  代入 f(x)F(x)=(sin2x)^2 
  得 f(0)=0 
  再代入前一式子 得 C=-1 
  f(x)^2=1+1/4*sin(4x)-1 
  => f(x)=根号下{1+1/4sin(4x)-1} 

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