Question

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AC=

如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB=∠B=30°．（1）求证：直线BD与⊙O相切；（2）若AC=10，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD， ∵OA=OD，∠DAB=∠B=30°， ∴∠ODA=∠DAB=∠B=30°， 又∠BOD为△AOD的外角， ∴∠BOD=∠DAB+∠ODA=60°， ∴∠ODB=180°-∠BOD-∠B=180°-60°-30°=90°，即OD⊥BD， ∴直线BD与⊙O相切； （2）∵AC为⊙O的直径，AC=10， ∴OA=OC=OD=5， 又在Rt△OBD中，∠B=30°， ∴OD= 1 2 OB， ∴OB=2OD=10， 则由勾股定理得，BD= O B 2 -O D 2 = 1 0 2 - 5 2 =5 3 ．