Question

如图①，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于D，PD的垂直平分线交OA的延

如图①，OA和OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是OA上的任意一点，BP的延长线交⊙O于D，PD的垂直平分线交OA的延长线于点C，连接CD。（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若P是OA延长线上的任意一点，其他条件不变，CD还是⊙O的切线吗？如果是，在备用图②中作出相应图形（请保留作图痕迹），并论证。

Answer 1

解：（1）连OD， ∵PC=CD， ∴∠CPD=∠CDP， 而∠CPD=∠BPO， ∴∠CDP=∠BPO， 又∵OB=OD， ∴∠ODB=∠OBD， ∵∠OBP+∠OPB=90°， ∴∠ODC=∠ODP+∠CDP=90°， ∴CD是⊙O的切线；
（2）作图，  理由：连OD， ∵CD=CP， ∴∠3=∠4， 同理：∠1=∠2， 而∠1+∠4=90°， 从而得∠2+∠3=90°， ∴∠ODC=90°， ∴CD是⊙O的切线。