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如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB.P是OA上的任意一点,BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上,
如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB.P是OA上的任意一点,BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上,且RP=RQ.(1)求证:RQ是⊙O的切线;(2)求证...
如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB.P是OA上的任意一点,BP的延长线交⊙O于点Q,点R在OA的延长线上,且RP=RQ.(1)求证:RQ是⊙O的切线;(2)求证:OB2=PB?PQ+OP2;(3)当RA≤OA时,试确定∠B的取值范围.
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解答:
证明:(1)连接OQ;
∵OB=OC,PR=RQ;
∴∠OBP=∠OQP,∠RPQ=∠RQP;
∵∠OBP+∠BPO=90°,∠BPO=∠RPQ;
∴∠OQP+∠RQP=90°;
即∠OQR=90°,
∴RQ是⊙O的切线.
证明:(2)延长AO⊙O交于点C;
∵∠BPC=∠QPA,∠BCP=∠AQP,
∴△BCP∽△AQP,
∴PB?PQ=PC?PA=(OC+OP)(OA-OP)=(OB+OP)(OB-OP)=OB2-OP2,
∴OB2=PB?PQ+OP2.
解:(3)当RA=OA时,∠R=30°,易得∠B=15°,当R与A重合时,∠B=45°;
∵R是OA延长线上的点,
∴R与A不重合,
∴∠B≠45°;
又∵RA≤OA,
∴∠B<45°,
∴15°≤B<45°.
∵OB=OC,PR=RQ;
∴∠OBP=∠OQP,∠RPQ=∠RQP;
∵∠OBP+∠BPO=90°,∠BPO=∠RPQ;
∴∠OQP+∠RQP=90°;
即∠OQR=90°,
∴RQ是⊙O的切线.
证明:(2)延长AO⊙O交于点C;
∵∠BPC=∠QPA,∠BCP=∠AQP,
∴△BCP∽△AQP,
∴PB?PQ=PC?PA=(OC+OP)(OA-OP)=(OB+OP)(OB-OP)=OB2-OP2,
∴OB2=PB?PQ+OP2.
解:(3)当RA=OA时,∠R=30°,易得∠B=15°,当R与A重合时,∠B=45°;
∵R是OA延长线上的点,
∴R与A不重合,
∴∠B≠45°;
又∵RA≤OA,
∴∠B<45°,
∴15°≤B<45°.
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