Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的直线交OA延长线于

如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的直线交OA延长线于点R，且RP=RQ（1）求证：直线QR是⊙O的切线；（2）若OP=PA=1，试求RQ的长．

Answer 1

证明：（1）连接OQ；  ∵OB=OQ，  ∴∠B=∠BQO；  ∵PR=QR，  ∴∠RPQ=PQR  ∵∠B+∠BPO=90°， ∠BPO=∠RPQ=∠PQR，  ∴∠BQO+∠PQR=90°， 即OQ⊥QR， ∴直线QR是⊙O的切线．

（2）设AR的长为x，则PR=RQ=x+1； 在Rt△OQR中，OQ=OA=2， 则（x+2） 2 =（x+1） 2 +2 2 ， 解之得，x= ， ∴QR=x+1= ．

Answer 2

(1)连接OQ，
因为RP=RQ
所以∠RQP=∠RPQ=∠OPB，
因为BO=OQ，
所以∠OQB=∠OBQ
因为∠AOB=90°
，
所以∠OPB+∠OPQ=90°，
则∠OQR=∠OQB+∠RQP=∠OBP+∠OPB=90°，
所以直线QR是⊙O的切线;
(2)因为OP=PA=1，
所以OA=OQ=2，
设RQ=RP=x，则OR=x+1，
在Rt△ROQ中，x^2+4=(x+1)^2，
解得x=3/2
，即RQ的长3/2.