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如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q的直线交OA延长线于
如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q的直线交OA延长线于点R,且RP=RQ(1)求证:直线QR是⊙O的切线;(...
如图,OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA上任一点,BP的延长线交⊙O于点Q,过点Q的直线交OA延长线于点R,且RP=RQ(1)求证:直线QR是⊙O的切线;(2)若OP=PA=1,试求RQ的长.
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(1)连接OQ,
因为RP=RQ
所以∠RQP=∠RPQ=∠OPB,
因为BO=OQ,
所以∠OQB=∠OBQ
因为∠AOB=90°
,
所以∠OPB+∠OPQ=90°,
则∠OQR=∠OQB+∠RQP=∠OBP+∠OPB=90°,
所以直线QR是⊙O的切线;
(2)因为OP=PA=1,
所以OA=OQ=2,
设RQ=RP=x,则OR=x+1,
在Rt△ROQ中,x^2+4=(x+1)^2,
解得x=3/2
,即RQ的长3/2.
因为RP=RQ
所以∠RQP=∠RPQ=∠OPB,
因为BO=OQ,
所以∠OQB=∠OBQ
因为∠AOB=90°
,
所以∠OPB+∠OPQ=90°,
则∠OQR=∠OQB+∠RQP=∠OBP+∠OPB=90°,
所以直线QR是⊙O的切线;
(2)因为OP=PA=1,
所以OA=OQ=2,
设RQ=RP=x,则OR=x+1,
在Rt△ROQ中,x^2+4=(x+1)^2,
解得x=3/2
,即RQ的长3/2.
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