Question

已知函数f（x）=ax-x2-lnx，a∈R．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在极值，且所有

已知函数f（x）=ax-x2-lnx，a∈R．（1）若a=0，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在极值，且所有极值之和大于5?ln12，求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
a=0时f/(x)＝?

1

x

?2x＜0对（0，+∞）恒成立，
∴f（x）的递减区间是（0，+∞），无递增区间
（2）f/(x)＝?

2x2?ax+1

x

∵f（x）存在极值，
∴f/(x)＝?

2x2?ax+1

x

＝0在（0，+∞）上有根，
即方程2x²-ax+1=0在（0，+∞）上有根．
设方程2x²-ax+1=0的两根为x₁，x₂，
由韦达定理得：

x1x2＝ 1 2 ＞0 x2+x1＝ a 2

，
所以方程的根必为两不等正根．
f(x1)+f(x2)＝a(x1+x2)?(x12+x22)?(lnx1+lnx2)
=

a2

2

?

a2

4

+1?ln

1

2

＞5?ln

1

2

∴a²＞16
又a²＞16满足方程2x²-ax+1=0判别式大于零
故所求取值范围为（4，+∞）